- Конформные отображения
-
Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.
Содержание
Связанные определения
- Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
- Две метрики на гладком многообразии M называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция такая что . В этом случае тождественное отображение на M индуцирует конформное отображение .
Свойства
- Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
- Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
- Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
- Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства при можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.
- Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, т.е. если и g - конформноэквивалентные метрики, то
где и W обозначают тензоры Вейля для и g соответственно. - Для конформно-эквивалентых метрик
- Связности связаны следующей формулой:
- Кривизны связаны следующей формулой:
если g(X,X) = g(Y,Y) = 1,g(X,Y) = 0,Xψ = 0 а Hessψ обозначает Гессиан функции ψ. - Формулу для секционных кривизн можно записать в следуцем виде:
где f = e − ψ. - При вычислении скалярной кривизны n-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде . В этом случае
- Связности связаны следующей формулой:
Примеры
- Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя.
- Инверсия — конформное отображение второго рода;
- Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
- Стереографическая проекция.
История
Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин.
Применение
Конформное отображение применяется в картографии, электростатике, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).
Литература
- Каратеодори К. Конформное отображение. — М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. Перевод с английского М. Келдыша
- Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ.
См. также
Ссылки
- Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.
Wikimedia Foundation. 2010.